El movimiento browniano

En su primer artículo de 1905, Einstein ya había revolucionado la física al proponer la hipótesis de los cuantos de luz; en el segundo [1], se ocupa esta vez de la materia. Su teoría del movimiento browniano constituye la primera demostración cuantitativa del carácter atómico de la materia, todavía discutido en aquella época. Einstein muestra que la agitación entrecortada de diminutos corpúsculos, por ejemplo, granos de polen en suspensión en agua, se debe a los choques incesantes que sufren por parte de las moléculas del fluido, invisibles al microscopio.

Durante casi un siglo, los científicos habían observado al microscopio esos desplazamientos erráticos sin poder explicarlos. Basándose en la mecánica estadística esbozada por Bernoulli y desarrollada por Maxwell y Boltzmann, Einstein da un paso decisivo.

Su idea fue que, observando esas fluctuaciones, por ejemplo la posición de la partícula, se podría determinar cuántos átomos hay y cuál es su tamaño. Para ello relaciona las fluctuaciones de la posición de una partícula browniana con las propiedades del fluido (temperatura, viscosidad) y deduce así la estructura atómica subyacente. Midiendo el desplazamiento cuadrático medio de un corpúsculo a lo largo del tiempo, se puede estimar el número de Avogadro y el tamaño de un átomo. De esta forma, el estudio de las fluctuaciones deja de ser un simple detalle y se convierte en una auténtica lupa que permite ver la estructura molecular invisible de la materia.

Contexto histórico

El movimiento browniano fue observado por muchas personas. Ya en 1784-1785, Jan Ingenhousz, médico y fisiólogo neerlandés, advirtió el vaivén de diminutas partículas de carbón en alcohol; algunos historiadores consideran que se trata de la primera observación del fenómeno. En 1824, Adolphe-Théodore Brongniart, botánico francés, señaló el movimiento de granos de polen. Puesto que todos los seres vivos están compuestos de materia orgánica, esta agitación se interpreta como una manifestación de la vitalidad de las sustancias observadas.

Robert Brown, botánico escocés, cita a Brongniart en sus trabajos: no fue, pues, el primero en verlo, pero sí el primero en estudiarlo de forma sistemática (1827-1828). Al principio pensó que era un fenómeno propio de los seres vivos; cambió de idea tras repetir el experimento con polvo mineral. Incluso tomó pequeños fragmentos de la Gran Esfinge y observó que se desplazaban del mismo modo. Constató que ni el tamaño del grano ni su naturaleza (orgánica o no) influían, y realizó un estudio experimental del fenómeno, que siguió sin explicación durante mucho tiempo.

Desde mediados del siglo XIX, algunos científicos intentaron explicar el movimiento browniano. Algunos veían en esta agitación los efectos de fenómenos de atracción y repulsión eléctricas entre los granos. Para otros, los granos eran empujados por el fluido, dentro del cual aparecían corrientes generadas por una causa externa. Entre estas últimas se mencionaban los movimientos del observador, las corrientes de aire o la iluminación del microscopio que, al calentar el fluido, debía favorecer su evaporación y, al mismo tiempo, los movimientos internos asociados, o bien provocar diferencias de temperatura que dieran lugar a movimientos de convección. Sin embargo, el fenómeno siguió siendo marginal en la física dominante: su complejidad y el hecho de que la teoría cinética se centrara ante todo en respaldar las leyes termodinámicas, y no en revelar fluctuaciones, lo relegaron a un segundo plano.

En el siglo XIX, abundantes pruebas, sobre todo químicas, mostraban que toda la materia está formada por moléculas y éstas, a su vez, por átomos. Pero, un grupo significativo de científicos, encabezados por el físico Ernst Mach y el químico Wilhelm Ostwald, seguía aferrado a la teoría del continuo y a la termodinámica como única vía válida para describir el comportamiento de los materiales macroscópicos. Según ellos, no sólo era imposible observar los átomos, sino que recurrir a una teoría atómica carecía de necesidad e interés, puesto que la descripción se refería únicamente a propiedades macroscópicas como volumen, presión o densidad.

Resultados de Einstein

Einstein demostró que una partícula micrométrica, sometida al azar de los choques con las moléculas del líquido circundante, obedece a una ley estadística según la cual la distancia recorrida crece únicamente como la raíz cuadrada del tiempo. El coeficiente que aparece en dicha relación es el coeficiente de difusión.

Pero ¿cómo calcular ese coeficiente de difusión? Aquí, nuevamente, Einstein aportó una contribución decisiva al demostrar que dicho coeficiente depende del cociente entre la temperatura y el coeficiente de fricción entre la partícula y el líquido.

Este resultado elegante se conoce hoy como la relación de Einstein. El coeficiente de fricción depende del tamaño de la partícula browniana y de la viscosidad del fluido, pero, sorprendentemente, la velocidad de la partícula no figura en la expresión. El coeficiente que aparece en la relación de Einstein incluye dos constantes: la constante de los gases ideales y el número de Avogadro. Así, la relación de Einstein ofrecía un método directo para medir el número de Avogadro a partir de la observación del movimiento de las partículas brownianas.

El obstáculo teórico anterior residía en centrarse en la velocidad en vez del desplazamiento; Einstein cambió esa perspectiva. Su teoría permitió por fin comprender por qué los físicos que intentaban medir la velocidad de los granos obtenían valores muy dispersos. De hecho, para calcular esas velocidades dividían los desplazamientos efectuados por los granos entre sus respectivas duraciones. Eso habría sido válido si el desplazamiento fuese proporcional a la duración. Pero Einstein acababa de demostrar que no es así: la velocidad calculada al dividir el desplazamiento observado por su duración es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la duración. Por lo tanto, al repetir las mediciones para distintos intervalos de tiempo, los físicos solo podían obtener valores diferentes.

Es importante señalar que Marian Smoluchowski, físico polaco, obtuvo al año siguiente la misma expresión, aunque con un factor numérico incorrecto.

Verificación experimental de Perrin

Mucho antes de Einstein ya existían estimaciones experimentales del número de Avogadro. Sin embargo, tras la publicación de su trabajo de 1905, se emprendieron varias medidas muy precisas, sobre todo entre 1908 y 1911, que culminaron con los experimentos del físico francés Jean Perrin. Sus estudios constituyeron la prueba decisiva de la teoría einsteiniana del movimiento browniano y, al mismo tiempo, una confirmación directa de la existencia de átomos y moléculas. Por ello Perrin recibió el Premio Nobel de Física en 1926.

En su libro [2], Perrin fotografió la posición de una misma partícula cada 30s y analizó la irregularidad de su trayectoria. Escribió:

Por supuesto, tampoco se puede trazar una tangente en ningún punto de la trayectoria, ni siquiera de la manera más grosera.

Esa observación inspiró a Norbert Wiener, animado por Bertrand Russell, a estudiar matemáticamente tales caminos, lo que desembocó en la medida de Wiener y el proceso de Wiener que más tarde generalizaría Paul-Pierre Lévy. Detrás de estos trabajos nació una rica teoría matemática con innumerables aplicaciones posteriores.

Cien años después de Einstein: implicaciones y aplicaciones actuales

Langevin entra en escena tres años después de Einstein [3]. Su contribución decisiva consiste en formular una ecuación dinámica explícita para la partícula, que enlaza la mecánica newtoniana ordinaria con procesos estocásticos y tiende un puente intuitivo entre lo microscópico (choques) y lo macroscópico (difusión). Esta idea resultó muy influyente en la física y las matemáticas del siglo XX.

Einstein y, luego, Langevin ponen la piedra angular de una disciplina muy rica que será profundizada por Pierre-Gilles de Gennes, premio Nobel en 1991. De Gennes construyó el edificio de la materia blanda, utilizando el movimiento browniano como lenguaje universal para describir virus, genes, espumas, plásticos, flujos en rocas, etc.

El trabajo de Einstein sobre el movimiento browniano abrió asimismo todo un campo nuevo de la teoría de probabilidades dedicado a los procesos estocásticos. En las últimas décadas, gran parte de la investigación se ha centrado en procesos que conducen a una difusión anómala, es decir, a distancias que crecen más rápido (superdifusión) o más lento (subdifusión) que la raíz cuadrada del tiempo. La superdifusión aparece, por ejemplo, cuando los pasos de la marcha del borracho no son uniformes y pueden ser muy grandes. Tales procesos aleatorios, llamados vuelos de Lévy (por el ingeniero y matemático francés Paul-Pierre Lévy), se han observado en la manera en que ciertas aves buscan alimento. Otros ejemplos de procesos aleatorios anómalos se han identificado en fenómenos tan diversos como las fluctuaciones meteorológicas, la permeación del agua a través de las rocas o las irregularidades del ritmo cardíaco.

El movimiento browniano ramificado (branching Brownian motion) es un modelo introducido en los años treinta (Kolmogórov, Fisher, McKean…) y sigue muy estudiado. Combina la difusión aleatoria de una partícula (browniano clásico) con el ramificado/replicación: cada partícula puede duplicarse o desaparecer con ciertas probabilidades. Este marco matemático describe la propagación de un virus o una enfermedad, las partículas representan infecciones que se desplazan al azar de un huésped a otro mientras se replican, y la difusión de un gen ventajoso en una población: los individuos portadores se desplazan (difusión) y se reproducen más rápido (selección), lo que conduce a la invasión de la mutación en el espacio.

En conclusión, en este artículo, al igual que en su primer trabajo, Einstein abre todo un mundo nuevo para la física y las matemáticas, un campo que sigue siendo muy activo.

Pero la existencia de las moléculas y de los átomos quedó demostrada.

Bibliografía

[1] https://www2.stat.duke.edu/courses/Spring12/sta357/refs/Eins1905EN.pdf
[2] Cap. 13, Mouvement brownien et réalité moléculaire, Jean Perrin.
[3] Sur la théorie du mouvement brownien, Comptes rendus, 1908

El Efecto fotoeléctrico

En 1905 [1], Albert Einstein se preguntó cómo era posible que la luz, considerada una onda, pudiera interactuar con un átomo que existe solo en un punto. Einstein propuso una idea revolucionaria: la luz está formada en realidad por pequeños granos que llamó cuantos de luz, más tarde denominados fotones, y afirmó que, aunque en muchos aspectos se comporta como una onda, bajo otros se comporta como una partícula. En 1916, esta noción daría el impulso inicial a la mecánica cuántica.

El artículo se titula “Sobre un punto de vista heurístico relativo a la producción y transformación de la luz”. Es un título bastante sorprendente: el término “heurístico” no suele emplearse en el lenguaje científico. Es posible que Einstein lo utilizara porque la visión de Planck era todavía incompleta. Planck fue el primero en introducir la noción de cuanto, en 1900, para resolver el problema del cuerpo negro. Sin embargo, para Planck se trataba de un simple artificio matemático: cuando la luz y la materia intercambian energía, dicho intercambio se produce en paquetes de energía llamados cuantos. Ese paquete de energía es proporcional a la frecuencia de la luz, y la constante de proporcionalidad es la famosa constante de Planck. Einstein fue el primero en considerar que esta cuantización no era solo una propiedad de la interacción entre materia y luz, sino una característica intrínseca de la propia luz.

Contexto histórico

Los primeros estudios cuantitativos, es decir, verdaderamente científicos, sobre la luz comenzaron en el siglo XVII con Galileo, Huygens y Fermat, entre otros, quienes desempeñaron un papel fundamental. Entonces se enfrentaban dos tesis opuestas.

Huygens, figura dominante, sostenía que la luz estaba formada por ondas que se propagaban en un medio y que podían interferir entre sí; así explicaba las propiedades del paso de la luz de un medio transparente a otro. Newton, en cambio, consideraba que la luz estaba compuesta por partículas y que esos granos luminosos se propagaban en línea recta, desviándose al atravesar un nuevo medio.

Ambas teorías hacían predicciones contradictorias sobre la velocidad de la luz en un material. Con su hipótesis ondulatoria, Huygens afirmaba que la luz viaja más despacio en un medio material, como el agua, que en el aire. Newton predecía lo contrario: creía que la luz sería “atraída” por el medio y se movería allí con mayor rapidez. Los experimentos posteriores mostraron que Huygens tenía razón. A partir del siglo XVIII, y hasta Maxwell e incluso después, la tesis ondulatoria se impuso; su triunfo culminó con las ecuaciones de Maxwell, que demostraron que la luz es una onda electromagnética, combinación de un campo eléctrico y uno magnético que se propaga a la velocidad de la luz. Esta teoría predecía la existencia de “luces” invisibles, radiación infrarroja por un lado, ultravioleta por otro, y todos los descubrimientos de finales del siglo XIX consolidaron la idea de la luz como onda.

Einstein llegó a reconciliar a Newton y a Huygens, pero esa reconciliación abrió un abismo vertiginoso: la caja de Pandora de la física cuántica.

Descubrimiento del efecto fotoeléctrico

A mediados de la década de 1880, un joven profesor de Karlsruhe, Heinrich Hertz, animado por su antiguo director de tesis, Helmholtz, se propuso verificar la predicción de Maxwell de que las ondas electromagnéticas podían propagarse por el espacio.

En un laboratorio oscurecido construyó un oscilador: dos varillas metálicas rematadas por esferas, unidas a una bobina de Ruhmkorff. Cuando saltaba una chispa entre las esferas, las cargas oscilaban y emitían radiación. Para detectar esa radiación, Hertz empleaba un sencillo anillo de cobre abierto, terminado en una diminuta ranura llena de aire; cada vez que se producía la chispa principal aparecía una microchispa en el anillo, aun sin existir conexión eléctrica con la antena emisora, situada en el extremo opuesto de la sala. Con solo 31 años, Hertz se hizo célebre como descubridor de las ondas de radio.

En su primera serie de experimentos se topó con un fenómeno curioso. El emisor producía más luz que el anillo detector, y para ver mejor la descarga del anillo colocó un pequeño escudo que lo dejaba en penumbra. Aunque la luz, como onda, debería rodear el obstáculo, observó que el tamaño de la chispa disminuía. Incluso con una placa de vidrio delante del detector la chispa se hacía más pequeña. Sabiendo que, a diferencia del vidrio, el cuarzo transmite la luz ultravioleta, sustituyó el vidrio por una placa de cuarzo y la chispa recuperó su tamaño inicial. Aquella observación desconcertante llevó a su alumno Wilhelm Hallwachs a estudiar sistemáticamente el fenómeno.

Hoy sabemos que la UV tiene una longitud de onda tan pequeña que casi no se difracta en el obstáculo y viaja en línea recta; así, la onda de radio llega al anillo, pero la UV no. La UV, mediante efecto fotoeléctrico, expulsa electrones del metal y ioniza levemente el aire de la ranura, reduciendo la tensión necesaria para la microchispa. Sin UV, esa ionización falta y la chispa se debilita; con cuarzo, la UV pasa y la chispa mantiene su intensidad.

La observación de Hertz despertó el interés de muchos físicos. Philipp von Lenard profundizó en el efecto y, en 1902, descubrió que la intensidad de la luz solo cambia la cantidad de electrones emitidos, no su energía, y que las longitudes de onda más cortas producen electrones más energéticos. Aunque no estableció la relación exacta entre longitud de onda y energía, obtuvo el Nobel en 1905.

Einstein escribiría a Mileva, en mayo de ese mismo año, que se sintió “transportado de alegría” al leer un artículo de Lenard sobre el efecto fotoeléctrico.

El cuerpo negro

El artículo de Einstein apareció cinco años después del trabajo de Planck sobre el cuerpo negro. Si se introduce un trozo de hierro en el fuego, se vuelve rojo; Planck investigaba precisamente ese problema, pues, según la teoría de la época, un cuerpo caliente debería emitir principalmente en el ultravioleta, fuera cual fuese su temperatura. Por ejemplo, una taza de café debería emitir tanto UV que cada sorbo nos broncearía.

Planck, especialista en termodinámica que había realizado su tesis sobre el segundo principio, intentó describir el fenómeno asignando una entropía al propio campo de radiación. Tanteó qué factores intervenían, examinó la segunda derivada de la entropía respecto de la energía y su inversa, y estudió su comportamiento en los distintos dominios de longitud de onda. Además, adoptó algo que él mismo había criticado: la teoría estadística de Boltzmann, desarrollada para la cinética de gases. La aplicó a la radiación, describiendo así la entropía estadística del cuerpo negro. Con todo ello halló la condición matemática que explica dicha radiación: la energía debe estar cuantizada y presentarse como el producto de una constante, la hoy famosa constante de Planck, por la frecuencia.

Aceptación de la teoría

El cuanto de luz de Einstein fue recibido con desprecio por la comunidad científica. Max Planck, cuando propuso a Einstein como miembro de la Academia Prusiana de Ciencias en Berlín en 1913, consideró necesario defenderlo en su carta de recomendación escribiendo [2]:

Que [Einstein] se haya dejado llevar en ocasiones, por ejemplo en su hipótesis de los cuantos de luz, por sus especulaciones, no debería serle reprochado con demasiada severidad.

En su discurso de aceptación del Premio Nobel en 1922, Niels Bohr, quien había desarrollado la primera teoría cuantificada del átomo, expresó su rechazo al concepto de cuanto de luz declarando [3]:

La hipótesis de los cuantos de luz… no es capaz de arrojar luz sobre la naturaleza de la radiación.

El físico de Chicago Robert Millikan no aceptaba la hipótesis del cuanto de luz de Einstein, que consideraba un ataque contra la teoría ondulatoria de la luz. Entre 1912 y 1915, Millikan concentró todos sus esfuerzos en medir el efecto fotoeléctrico. En 1915, tuvo que reconocer que había verificado exactamente la ecuación de Einstein. Publicó sus resultados en 1916, calificando la hipótesis de Einstein como [4]

Una hipótesis audaz, por no decir temeraria, de un corpúsculo electromagnético de luz con energía hν, que contradice hechos firmemente establecidos sobre la interferencia y que ahora ha sido bastante generalmente abandonada.

Así, aunque no logró refutar la ecuación de Einstein, Millikan logró medir la constante h con una precisión del 0,5 % respecto al valor propuesto por Planck. Su consuelo fue recibir, en 1923, el Premio Nobel por sus trabajos sobre el efecto fotoeléctrico y la determinación de la carga electrónica.

Incluso después de que Einstein recibiera el Premio Nobel en 1922, los físicos seguían sin aceptar su concepto de fotón; prácticamente solo su amigo Paul Ehrenfest lo apoyaba. Fue en ese momento cuando Arthur Compton inició sus investigaciones experimentales, primero en San Luis en 1920, y luego en Chicago en 1923, para estudiar el comportamiento peculiar de los rayos X al incidir sobre una lámina de aluminio.

Niels Bohr, recientemente galardonado con el Nobel por su teoría atómica, rechazó la explicación de Compton. Diseñó experimentos destinados a demostrar que el efecto Compton no era más que un promedio de muchas interacciones entre rayos X y electrones. Sin embargo, ya en 1925, varios experimentos demostraron de forma concluyente que la energía y la cantidad de movimiento se conservaban para cada pareja rayo X / electrón por separado. Al conocer estos resultados, Bohr escribió a un amigo [5]:

Parece… que no queda más que dar a nuestros esfuerzos… un funeral lo más honorable posible.

En 1926 se inventó el término fotón para designar al cuanto de luz. El experimento de Compton y la teoría que desarrolló para explicarlo aportaron un apoyo decisivo a la hipótesis del fotón de Einstein, que desde entonces fue generalmente aceptada. Einstein escribió a Ehrenfest [6]:

Nosotros dos nunca tuvimos dudas al respecto.

 


Bibliografía

[1] https://inters.org/files/einstein1905_photoeff.pdf
[2] https://arxiv.org/abs/physics/0512034
[3] https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1922/bohr/lecture/ (p. 14)
[4] Millikan, R. (1950). The autobiography of Robert A Millikan. (p. 355)
[5] Bohr, N, Vol. 5. The emergence of quantum mechanics (p. 82)
[6] Martin J. Klein, The First Phase of the Bohr-Einstein Dialogue (p.35)

1905: Annus mirabilis de Einstein

Fotografía tomada por su amigo, Lucien Chavan, en 1905.

 

Albert Einstein nació el 14 de marzo de 1879 en Ulm, en el Reino de Wurtemberg. Su padre, Hermann, era comerciante de equipos eléctricos; su madre, Pauline, pianista, fomentó su amor de por vida por la música. Cuando Albert tenía un año, la familia se mudó a Múnich, donde Hermann y su hermano fundaron una empresa, efímera, que instalaba iluminación por corriente continua. En 1888 Albert ingresó en el Luitpold-Gymnasium, regido por católicos: destacó en matemáticas, pero detestaba el aprendizaje mecánico y la disciplina prusiana. A finales de 1894 el negocio familiar quebró y los Einstein se trasladaron a Milán y Pavía; Albert, dejado atrás para acabar el curso, abandonó la escuela a los quince años sin diploma, se reunió con sus padres en Italia y se preparó por su cuenta para la universidad.

Para retomar una educación formal se matriculó en 1895 en la escuela cantonal de Aarau (Suiza). El ambiente liberal le favoreció; ese año concibió el famoso experimento mental de perseguir un rayo de luz. En enero de 1896 renunció a la ciudadanía de Wurtemberg para evitar el servicio militar y, pocos meses después, ingresó en el Politécnico de Zúrich (hoy ETH Zürich). Allí estudió en la sección de formación de profesores de matemáticas y física, discutiendo vivazmente con su compañera serbia Mileva Marić. Obtuvo las máximas notas en física pero medias en otras asignaturas y se graduó en julio de 1900 sin perspectivas laborales inmediatas. En 1901 adquirió la ciudadanía suiza.

Tras un año infructuoso de suplencias y cartas insistentes a profesores en busca de recomendaciones, Einstein consiguió, gracias al padre de un amigo, un puesto júnior (Experto Técnico de tercera clase) en la Oficina Federal de Patentes de Berna, donde empezó a trabajar el 23 de junio de 1902. El empleo, poco exigente pero estable (examinar patentes eléctricas), le dejaba las tardes libres para la física teórica.

Como funcionario federal suizo cumplía unas ocho horas diarias, seis días a la semana, y bromeaba diciendo que eso le dejaba “ocho horas de diversión al día, y además está el domingo”. Los expedientes de patentes eran repetitivos, pero le permitían soñar ecuaciones mientras pagaban los gastos de vida.

Vivía con frugalidad, sostenía económicamente a su madre y a su hermana, y en 1902 tuvo una hija extramatrimonial, Lieserl, con Mileva; la niña desaparece de los registros, probablemente dada en adopción. Einstein y Mileva se casaron el 6 de enero de 1903; les siguieron los hijos Hans Albert (n. 1904) y Eduard (n. 1910).

En Berna Einstein formó la “Academia Olympia”, un club de discusión de tres miembros con el matemático-filósofo Maurice Solovine y el ingeniero Conrad Habicht; leían a Poincaré, Mach, Hume, Helmholtz y Boltzmann. Aquellas charlas afilaron su crítica del espacio y el tiempo absolutos y afianzaron su pensamiento estadístico. En 1905, trabajando en un pequeño apartamento de la Kramgasse y garabateando en papel de la oficina de patentes durante los descansos, produjo cuatro artículos revolucionarios para Annalen der Physik:

  1. sobre el efecto fotoeléctrico (enviado el 18 de marzo), donde introdujo los cuantos de luz;

  2. sobre el movimiento browniano (11 de mayo), que ofreció la primera vía empírica al número de Avogadro;

  3. Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento (30 de junio), con la que forjó la relatividad especial;

  4. y una nota de tres páginas, ¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido energético? (27 de septiembre), en la que obtuvo E=mc².

Al terminar el año, aquel joven de 26 años seguía siendo un funcionario oscuro, con un sueldo anual de 3 500 francos, pero la física moderna había quedado irreversiblemente transformada.

Durante los próximos días repasaremos estos cuatro artículos para comprender mejor la importancia de este año milagroso.

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