En su primer artículo de 1905, Einstein ya había revolucionado la física al proponer la hipótesis de los cuantos de luz; en el segundo [1], se ocupa esta vez de la materia. Su teoría del movimiento browniano constituye la primera demostración cuantitativa del carácter atómico de la materia, todavía discutido en aquella época. Einstein muestra que la agitación entrecortada de diminutos corpúsculos, por ejemplo, granos de polen en suspensión en agua, se debe a los choques incesantes que sufren por parte de las moléculas del fluido, invisibles al microscopio.
Durante casi un siglo, los científicos habían observado al microscopio esos desplazamientos erráticos sin poder explicarlos. Basándose en la mecánica estadística esbozada por Bernoulli y desarrollada por Maxwell y Boltzmann, Einstein da un paso decisivo.
Su idea fue que, observando esas fluctuaciones, por ejemplo la posición de la partícula, se podría determinar cuántos átomos hay y cuál es su tamaño. Para ello relaciona las fluctuaciones de la posición de una partícula browniana con las propiedades del fluido (temperatura, viscosidad) y deduce así la estructura atómica subyacente. Midiendo el desplazamiento cuadrático medio de un corpúsculo a lo largo del tiempo, se puede estimar el número de Avogadro y el tamaño de un átomo. De esta forma, el estudio de las fluctuaciones deja de ser un simple detalle y se convierte en una auténtica lupa que permite ver la estructura molecular invisible de la materia.
Contexto histórico
El movimiento browniano fue observado por muchas personas. Ya en 1784-1785, Jan Ingenhousz, médico y fisiólogo neerlandés, advirtió el vaivén de diminutas partículas de carbón en alcohol; algunos historiadores consideran que se trata de la primera observación del fenómeno. En 1824, Adolphe-Théodore Brongniart, botánico francés, señaló el movimiento de granos de polen. Puesto que todos los seres vivos están compuestos de materia orgánica, esta agitación se interpreta como una manifestación de la vitalidad de las sustancias observadas.
Robert Brown, botánico escocés, cita a Brongniart en sus trabajos: no fue, pues, el primero en verlo, pero sí el primero en estudiarlo de forma sistemática (1827-1828). Al principio pensó que era un fenómeno propio de los seres vivos; cambió de idea tras repetir el experimento con polvo mineral. Incluso tomó pequeños fragmentos de la Gran Esfinge y observó que se desplazaban del mismo modo. Constató que ni el tamaño del grano ni su naturaleza (orgánica o no) influían, y realizó un estudio experimental del fenómeno, que siguió sin explicación durante mucho tiempo.
Desde mediados del siglo XIX, algunos científicos intentaron explicar el movimiento browniano. Algunos veían en esta agitación los efectos de fenómenos de atracción y repulsión eléctricas entre los granos. Para otros, los granos eran empujados por el fluido, dentro del cual aparecían corrientes generadas por una causa externa. Entre estas últimas se mencionaban los movimientos del observador, las corrientes de aire o la iluminación del microscopio que, al calentar el fluido, debía favorecer su evaporación y, al mismo tiempo, los movimientos internos asociados, o bien provocar diferencias de temperatura que dieran lugar a movimientos de convección. Sin embargo, el fenómeno siguió siendo marginal en la física dominante: su complejidad y el hecho de que la teoría cinética se centrara ante todo en respaldar las leyes termodinámicas, y no en revelar fluctuaciones, lo relegaron a un segundo plano.
En el siglo XIX, abundantes pruebas, sobre todo químicas, mostraban que toda la materia está formada por moléculas y éstas, a su vez, por átomos. Pero, un grupo significativo de científicos, encabezados por el físico Ernst Mach y el químico Wilhelm Ostwald, seguía aferrado a la teoría del continuo y a la termodinámica como única vía válida para describir el comportamiento de los materiales macroscópicos. Según ellos, no sólo era imposible observar los átomos, sino que recurrir a una teoría atómica carecía de necesidad e interés, puesto que la descripción se refería únicamente a propiedades macroscópicas como volumen, presión o densidad.
Resultados de Einstein
Einstein demostró que una partícula micrométrica, sometida al azar de los choques con las moléculas del líquido circundante, obedece a una ley estadística según la cual la distancia recorrida crece únicamente como la raíz cuadrada del tiempo. El coeficiente que aparece en dicha relación es el coeficiente de difusión.
Pero ¿cómo calcular ese coeficiente de difusión? Aquí, nuevamente, Einstein aportó una contribución decisiva al demostrar que dicho coeficiente depende del cociente entre la temperatura y el coeficiente de fricción entre la partícula y el líquido.
Este resultado elegante se conoce hoy como la relación de Einstein. El coeficiente de fricción depende del tamaño de la partícula browniana y de la viscosidad del fluido, pero, sorprendentemente, la velocidad de la partícula no figura en la expresión. El coeficiente que aparece en la relación de Einstein incluye dos constantes: la constante de los gases ideales y el número de Avogadro. Así, la relación de Einstein ofrecía un método directo para medir el número de Avogadro a partir de la observación del movimiento de las partículas brownianas.
El obstáculo teórico anterior residía en centrarse en la velocidad en vez del desplazamiento; Einstein cambió esa perspectiva. Su teoría permitió por fin comprender por qué los físicos que intentaban medir la velocidad de los granos obtenían valores muy dispersos. De hecho, para calcular esas velocidades dividían los desplazamientos efectuados por los granos entre sus respectivas duraciones. Eso habría sido válido si el desplazamiento fuese proporcional a la duración. Pero Einstein acababa de demostrar que no es así: la velocidad calculada al dividir el desplazamiento observado por su duración es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la duración. Por lo tanto, al repetir las mediciones para distintos intervalos de tiempo, los físicos solo podían obtener valores diferentes.
Es importante señalar que Marian Smoluchowski, físico polaco, obtuvo al año siguiente la misma expresión, aunque con un factor numérico incorrecto.
Verificación experimental de Perrin
Mucho antes de Einstein ya existían estimaciones experimentales del número de Avogadro. Sin embargo, tras la publicación de su trabajo de 1905, se emprendieron varias medidas muy precisas, sobre todo entre 1908 y 1911, que culminaron con los experimentos del físico francés Jean Perrin. Sus estudios constituyeron la prueba decisiva de la teoría einsteiniana del movimiento browniano y, al mismo tiempo, una confirmación directa de la existencia de átomos y moléculas. Por ello Perrin recibió el Premio Nobel de Física en 1926.
En su libro [2], Perrin fotografió la posición de una misma partícula cada 30s y analizó la irregularidad de su trayectoria. Escribió:
Por supuesto, tampoco se puede trazar una tangente en ningún punto de la trayectoria, ni siquiera de la manera más grosera.
Esa observación inspiró a Norbert Wiener, animado por Bertrand Russell, a estudiar matemáticamente tales caminos, lo que desembocó en la medida de Wiener y el proceso de Wiener que más tarde generalizaría Paul-Pierre Lévy. Detrás de estos trabajos nació una rica teoría matemática con innumerables aplicaciones posteriores.
Cien años después de Einstein: implicaciones y aplicaciones actuales
Langevin entra en escena tres años después de Einstein [3]. Su contribución decisiva consiste en formular una ecuación dinámica explícita para la partícula, que enlaza la mecánica newtoniana ordinaria con procesos estocásticos y tiende un puente intuitivo entre lo microscópico (choques) y lo macroscópico (difusión). Esta idea resultó muy influyente en la física y las matemáticas del siglo XX.
Einstein y, luego, Langevin ponen la piedra angular de una disciplina muy rica que será profundizada por Pierre-Gilles de Gennes, premio Nobel en 1991. De Gennes construyó el edificio de la materia blanda, utilizando el movimiento browniano como lenguaje universal para describir virus, genes, espumas, plásticos, flujos en rocas, etc.
El trabajo de Einstein sobre el movimiento browniano abrió asimismo todo un campo nuevo de la teoría de probabilidades dedicado a los procesos estocásticos. En las últimas décadas, gran parte de la investigación se ha centrado en procesos que conducen a una difusión anómala, es decir, a distancias que crecen más rápido (superdifusión) o más lento (subdifusión) que la raíz cuadrada del tiempo. La superdifusión aparece, por ejemplo, cuando los pasos de la marcha del borracho no son uniformes y pueden ser muy grandes. Tales procesos aleatorios, llamados vuelos de Lévy (por el ingeniero y matemático francés Paul-Pierre Lévy), se han observado en la manera en que ciertas aves buscan alimento. Otros ejemplos de procesos aleatorios anómalos se han identificado en fenómenos tan diversos como las fluctuaciones meteorológicas, la permeación del agua a través de las rocas o las irregularidades del ritmo cardíaco.
El movimiento browniano ramificado (branching Brownian motion) es un modelo introducido en los años treinta (Kolmogórov, Fisher, McKean…) y sigue muy estudiado. Combina la difusión aleatoria de una partícula (browniano clásico) con el ramificado/replicación: cada partícula puede duplicarse o desaparecer con ciertas probabilidades. Este marco matemático describe la propagación de un virus o una enfermedad, las partículas representan infecciones que se desplazan al azar de un huésped a otro mientras se replican, y la difusión de un gen ventajoso en una población: los individuos portadores se desplazan (difusión) y se reproducen más rápido (selección), lo que conduce a la invasión de la mutación en el espacio.
En conclusión, en este artículo, al igual que en su primer trabajo, Einstein abre todo un mundo nuevo para la física y las matemáticas, un campo que sigue siendo muy activo.
Pero la existencia de las moléculas y de los átomos quedó demostrada.
Bibliografía
[1] https://www2.stat.duke.edu/courses/Spring12/sta357/refs/Eins1905EN.pdf
[2] Cap. 13, Mouvement brownien et réalité moléculaire, Jean Perrin.
[3] Sur la théorie du mouvement brownien, Comptes rendus, 1908
